جورج بول.
جورج بول.المؤلف: Unknown authorUnknown author · الترخيص: Public domain · السنة: 1880 · المصدر: ويكيميديا كومنز

ما هو الجبر البولياني؟

مضاعف الجبر البولياني القابل للعد الفريد modulo حد مجموعة كانتور.
مضاعف الجبر البولياني القابل للعد الفريد modulo حد مجموعة كانتور.المؤلف: Jacksonwalters · الترخيص: CC BY 4.0 · السنة: 2025 · المصدر: ويكيميديا كومنز
مجموعة الأسطوانة $C_{00}$ في جبر كانتور.
مجموعة الأسطوانة $C_{00}$ في جبر كانتور.المؤلف: Jacksonwalters · الترخيص: CC0 · السنة: 2026 · المصدر: ويكيميديا كومنز

يُعد الجبر البولياني (Boolean Algebra)، الذي يُعرف أيضًا بالجبر الثنائي (Binary Algebra)، فرعًا أساسيًا من الرياضيات يختلف جوهريًا عن الجبر التقليدي؛ إذ يختص بإجراء العمليات في نظام ثنائي يعتمد على متغيرات تُمثل عادةً بأحرف إنجليزية كبيرة، وتكون قيمة كل متغير إما صحيحة يُرمز لها بالرقم 1، وإما خاطئة يُرمز لها بالرقم 0.11شرح معنى " الجبر البولياني " ( Boolean Algebra ) | دليل مصطلحات هارفارد بزنس ريفيوhbrarabic.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد22Boolean algebra | Science | Research Starters | EBSCOhostebsco.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد33boolean algebra and its applicationsweb.fairyland.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد ويعود تأسيس هذا الجبر إلى عالم الرياضيات البريطاني جورج بول في منتصف القرن التاسع عشر لتوحيد المنطق والرياضيات، حيث طرحه أول مرة في كتاب «التحليل الرياضي للمنطق» عام 1847، ثم توسع فيه عبر كتاب «بحث في قوانين الفكر» عام 1854.11شرح معنى " الجبر البولياني " ( Boolean Algebra ) | دليل مصطلحات هارفارد بزنس ريفيوhbrarabic.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد22Boolean algebra | Science | Research Starters | EBSCOhostebsco.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد33boolean algebra and its applicationsweb.fairyland.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

يقدم الجبر البولياني أسلوبًا منهجيًا لتحليل الصياغات المنطقية وتبسيطها، ويقوم على ثلاث عمليات منطقية رئيسية:11شرح معنى " الجبر البولياني " ( Boolean Algebra ) | دليل مصطلحات هارفارد بزنس ريفيوhbrarabic.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد22Boolean algebra | Science | Research Starters | EBSCOhostebsco.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد33boolean algebra and its applicationsweb.fairyland.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

تتجلى أهمية الجبر البولياني في عدة مجالات تطبيقية:22Boolean algebra | Science | Research Starters | EBSCOhostebsco.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد33boolean algebra and its applicationsweb.fairyland.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

التعريف

دالة حسابية.
دالة حسابية.المؤلف: J.sa13d034 · الترخيص: CC BY-SA 4.0 · السنة: 2017 · المصدر: ويكيميديا كومنز
إظهار الخاصية التبادلية للجبر بولي باستخدام المفاتيح.
إظهار الخاصية التبادلية للجبر بولي باستخدام المفاتيح.المؤلف: Arilaloye · الترخيص: CC BY-SA 3.0 · السنة: 2012 · المصدر: ويكيميديا كومنز
منطق سالب‑موجب (بوابة AND، بوابة OR)
منطق سالب‑موجب (بوابة AND، بوابة OR)المؤلف: Tosaka · الترخيص: CC BY 3.0 · السنة: 2008 · المصدر: ويكيميديا كومنز

يُمثّل الجبر البولياني (Boolean algebra)، الذي يُعرف أيضًا باسم الجبر المنطقي (Logical Algebra) أو الجبر الثنائي (Binary Algebra)، فرعًا من الرياضيات والمنطق يختص بالتعامل مع القيم المنطقية والمتغيرات الثنائية (binary variables) والعمليات المنطقية (logical operations) المتعلقة بها.44ما هو الجبر البولياني وما علاقته بالحاسب؟elakademiapost.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد33boolean algebra and its applicationsweb.fairyland.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد55Boolean Algebra Operationsbyjus.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد وينسب هذا الجبر إلى عالم الرياضيات والمنطق الإنجليزي جورج بول الذي عاش بين عامي 1815 و1864 م، حيث طور أسلوبًا رمزيًا لتشكيل العبارات المنطقية وإثباتها بطريقة تُشبه الجبر التقليدي.66الجبر البولياني - المعرفةmarefa.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد وبخلاف الجبر العادي الذي يتعامل مع الأعداد الحقيقية وعلاقاتها، يقتصر الجبر البولياني على قيمتين منطقيتين تعبران عن حالتي الصواب والخطأ، ويُرمز لهما عادةً بالعددين 1 و0 على التوالي.33boolean algebra and its applicationsweb.fairyland.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد77Boolean Algebra and Digital Logicphysics.mcmaster.caاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد55Boolean Algebra Operationsbyjus.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

تكمن أهمية هذا الجبر في كونه وسيلة طبيعية لتمثيل البيانات الرقمية داخل أجهزة الحاسوب، لكونها تتكون من مفاتيح كهربائية تعمل إما في حالة التشغيل أو الإيقاف.77Boolean Algebra and Digital Logicphysics.mcmaster.caاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد وتعتمد الدوائر الرقمية فعليًا على مستويات جهد كهربائي مرتفعة ومنخفضة، يُعبر عنها بالقيمتين 1 و0.77Boolean Algebra and Digital Logicphysics.mcmaster.caاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

تتعدد المجالات التطبيقية للجبر البولياني، ومن أبرزها:

جورج بول

جدول الحقيقة يحتوي على ثلاثة متغيرات لتوضيح دالة Maxtermo.
جدول الحقيقة يحتوي على ثلاثة متغيرات لتوضيح دالة Maxtermo.المؤلف: Bruna Táyla Nunes · الترخيص: CC0 · السنة: 2012 · المصدر: ويكيميديا كومنز
أمثلة على كتابة الدوال البوليانية البسيطة باستخدام البوابات المنطقية.
أمثلة على كتابة الدوال البوليانية البسيطة باستخدام البوابات المنطقية.المؤلف: Smitop · الترخيص: CC BY-SA 4.0 · السنة: 2021 · المصدر: ويكيميديا كومنز
جداول العمليات المنطقية والرياضية في الثلاثي المتوازن مأخوذة من مقالة PERCHÉ I CALCOLATORISONO BINARI? للكاتب Silvio Hénin حول حاسوب SETUN، وتظهر خطأً في جدول r
جداول العمليات المنطقية والرياضية في الثلاثي المتوازن مأخوذة من مقالة PERCHÉ I CALCOLATORISONO BINARI? للكاتب Silvio Hénin حول حاسوب SETUN، وتظهر خطأً في جدول rالمؤلف: Graziap89 · الترخيص: CC BY 3.0 · المصدر: ويكيميديا كومنز

جورج بول (George Frederick Boole) (1815–1864) عالم منطق ورياضيات إنجليزي، وهو يعتقد أنه من مؤسسي جبر المنطق.88أنواع المعطيات - موسوعة العلوم والتقاناتarab-ency.com.syاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد66الجبر البولياني - المعرفةmarefa.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد وقد يعود إليه الفضل في صياغة الفهم الحديث للعلاقات بين الموضوعات بناءً على القوانين الجبرية، حيث ابتكر طريقة منهجية لتكوين العبارات المنطقية وإثباتها بالرموز وفق قواعد صارمة ومماثلة للجبر العادي.99الموسوعة العربيةarab-ency.com.syاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد1010Boolean algebraelshami.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد66الجبر البولياني - المعرفةmarefa.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

وقد أصدر بول عام 1854م كتابه «بحث في قوانين الفكر» (An Investigation of the Laws of Thought)، الذي شَكّل مرحلة مفصلية في تاريخ الرياضيات؛ إذ ركّز فيه على دراسة المنطق بلغة الجبر ووضع أسس المنطق الرمزي (Symbolic Logic)، مما سمح بالتعبير الدقيق عن قوانين الفكر وتداول العلاقات المنطقية والاحتمالات في شكل رمزي.99الموسوعة العربيةarab-ency.com.syاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد1010Boolean algebraelshami.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

ونسبةً إلى جورج بول، أُطلق اسم النمط البولياني (Boolean) على النمط المنطقي الذي يتضمن القيمتين (صح وخطأ).88أنواع المعطيات - موسوعة العلوم والتقاناتarab-ency.com.syاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد ويدخل الجبر البولياني (Boolean Algebra) في مجالات تطبيقية متعددة:99الموسوعة العربيةarab-ency.com.syاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

العمليات

يعتمد الجبر البولياني في التعامل مع المتغيرات ذات القيم الثنائية على استبدالها بأحرف إنجليزية كبيرة، بحيث تكون قيمة كل متغير إما صحيحة يمثلها الرقم 1 وإما خاطئة يمثلها الرقم 0.11شرح معنى " الجبر البولياني " ( Boolean Algebra ) | دليل مصطلحات هارفارد بزنس ريفيوhbrarabic.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد وتنقسم العمليات الجبرية فيه إلى عمليات أساسية وأخرى مشتقة.66الجبر البولياني - المعرفةmarefa.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

تتكون العمليات الأساسية في الجبر البولياني من نوعين بناءً على عدد المدخلات:66الجبر البولياني - المعرفةmarefa.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

  1. عمليات ثنائية (Binary Operations): تتطلب متغيرين على الأقل لإتمام العملية، وتشمل عملية العطف المنطقي "و" (AND Operation) ويُرمز لها بالرمز ˄، وعملية الفصل المنطقي "أو" (OR Operation) ويُرمز لها بالرمز ˅.11شرح معنى " الجبر البولياني " ( Boolean Algebra ) | دليل مصطلحات هارفارد بزنس ريفيوhbrarabic.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد66الجبر البولياني - المعرفةmarefa.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد
  2. عمليات أحادية (Unary Operations): تتطلب متغيرًا واحدًا أو مدخلًا واحدًا فقط، وتتمثل في عملية النفي "لا" (NOT Operation) ويُرمز لها بالرمز (-).11شرح معنى " الجبر البولياني " ( Boolean Algebra ) | دليل مصطلحات هارفارد بزنس ريفيوhbrarabic.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد66الجبر البولياني - المعرفةmarefa.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

أما العمليات الأساسية المشتقة فقد سُميت بهذا الاسم لأنها اشتُقت من العمليات البوليانية الأساسية، وتشمل:66الجبر البولياني - المعرفةmarefa.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

  1. عملية (NAND Operation): أُخذت تسميتها اختصارًا من (NOT AND).66الجبر البولياني - المعرفةmarefa.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد
  2. عملية (NOR Operation): أُخذت تسميتها اختصارًا من (NOT OR).66الجبر البولياني - المعرفةmarefa.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد
  3. عملية (XOR Operation): أُخذت تسميتها اختصارًا من (Exclusive OR).66الجبر البولياني - المعرفةmarefa.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

القوانين

يُعرَّف الجبر البولياني (Boolean Algebra) بكونه مجموعة تتألف من عمليتين ثنائيتين وعملية أحادية، وتوجد عدة بديهيات وفرضيات تصف القوانين والعمليات بين المتغيرات المنطقية البوليانية، لا سيما عند تعريفها على المجموعة {0,1}.1111جبر بول 1 | PDFscribd.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد1212أسس المنطق الرّقمي: الجبر البولياني Boolean Algebra – عالم الإلكترون4electron.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد1313طرائق حل المعادلات البوليانيةabu.edu.iqاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد ويمكن كتابة القوانين البوليانية وصياغتها إما بحسب الشكل الأصلي للمعاملات الجبرية لجبر بول، أو عبر المعاملات الجبرية العادية.1212أسس المنطق الرّقمي: الجبر البولياني Boolean Algebra – عالم الإلكترون4electron.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

كما يتشابه الجبر البولياني مع الجبر العادي في وجود قوانين أساسية تصف العمليات بين المتغيرات، إضافة إلى وجود قوانين خاصة تقتصر على الجبر البولياني دون غيره.1212أسس المنطق الرّقمي: الجبر البولياني Boolean Algebra – عالم الإلكترون4electron.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد وتتضمن القوانين والخصائص التي تحققها العمليات الجبرية ما يلي:

ويُعد المنطق مثالًا على الجبر البولياني ذي القيمتين، وتتمثل العمليات فيه بالعمليات المنطقية: "أو" (OR)، و"و" (AND)، و"ليس" (NOT).1111جبر بول 1 | PDFscribd.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

قوانين دي مورغان

قانون دي مورغان مع عملية طرح المجموعات.
قانون دي مورغان مع عملية طرح المجموعات.المؤلف: Goodphy · الترخيص: CC BY-SA 4.0 · السنة: 2023 · المصدر: ويكيميديا كومنز

تُعدّ قوانين دي مورغان (De Morgan's Laws) من القواعد الأساسية في الجبر البولياني ونظرية المجموعات (Set Theory)؛ إذ تبيّن كيفية تفاعل النفي (Negation) أو المتمم مع عمليات العطف والجمع المنطقي.1414De Morgan's Laws in Boolean Algebra | PDF | Boolean Algebra | Teaching Mathematicsscribd.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد1515De Morgan's Laws - GeeksforGeeksgeeksforgeeks.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد وتُستخدم هذه القوانين لتبسيط التعابير البوليانية (Boolean Expressions) والدوائر المنطقية (Logic Circuits)، ولها تطبيقات مهمة في مجالات الهندسة وبرمجة الحاسوب.1414De Morgan's Laws in Boolean Algebra | PDF | Boolean Algebra | Teaching Mathematicsscribd.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد1515De Morgan's Laws - GeeksforGeeksgeeksforgeeks.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

تتضمّن قوانين دي مورغان قاعدتين أساسيتين:

  1. القانون الأول: ينص على أن حاصل عملية الضرب المنطقي لنفي متحولين منطقيين يساوي نفي نتيجة الجمع المنطقي للمتحولين نفسهما، وهو ما يُعبر عنه في نظرية المجموعات بأن متمم اتحاد مجموعتين يساوي تقاطع متمماتهما.1212أسس المنطق الرّقمي: الجبر البولياني Boolean Algebra – عالم الإلكترون4electron.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد1414De Morgan's Laws in Boolean Algebra | PDF | Boolean Algebra | Teaching Mathematicsscribd.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد
  2. القانون الثاني: ينص على أن متمم تقاطع مجموعتين يساوي اتحاد متمماتهما، ويمكن إثبات صحة هذا القانون بالطريقة نفسها المستخدمة في إثبات القانون الأول.1414De Morgan's Laws in Boolean Algebra | PDF | Boolean Algebra | Teaching Mathematicsscribd.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد1212أسس المنطق الرّقمي: الجبر البولياني Boolean Algebra – عالم الإلكترون4electron.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

تُساهم هذه القوانين بشكل كبير في تحديد ناتج أو خرج البوابات المنطقية الإلكترونية، وتُستخدم في معالجة وتبسيط التعابير البوليانية إلى جانب قواعد الامتصاص وقوانين الجبر الأخرى.1212أسس المنطق الرّقمي: الجبر البولياني Boolean Algebra – عالم الإلكترون4electron.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد1616السلسلة التطبيقية 3: الجبر البولياني – Machine Structure 1nadross.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد ويمكن التحقق من صحة هذه القوانين وبرهنتها عبر إسناد قيم منطقية مختلفة للمتحولات وملاحظة تساوي خرج طرفي العبارة.1212أسس المنطق الرّقمي: الجبر البولياني Boolean Algebra – عالم الإلكترون4electron.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

التطبيق في الدوائر

يمثل الجبر البولياني ركنًا أساسيًا في تصميم المنطق الرقمي (Digital Logic Design) والهندسة الكهربائية، حيث برهن كلود شانون عام 1937 في أطروحته للماجستير على إمكانية استخدام الجبر ثنائي القيمة لوصف تشغيل دوائر التحويل (Switching Circuits) المستخدمة للمرحلات الكهروميكانيكية.1717الجبر المنطقي في المنطق الرقمي |الابتكار العالميinnovation.worldاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد وتُعبر القيم الثنائية من أصفار وآحاد عن الحالات الفيزيائية المختلفة داخل الدائرة الكهربائية، كمستويات الفولطية.1010Boolean algebraelshami.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

وتعتمد الأجهزة الإلكترونية مثل الحاسوب والهواتف الذكية على البوابات المنطقية (Logic Gates) للتحكم في تدفق التيار الكهربائي وتطبيق المعاملات البوليانية.1010Boolean algebraelshami.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد1818آلة حاسبة مجانية للجبر البوليانيmathos.aiاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد وتترابط هذه البوابات بحيث تُغذى مخرجات إحداها كمدخلات لبوابة أخرى للوصول إلى نتائج ثنائية ذات معنى.1010Boolean algebraelshami.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

وتشمل أبرز تطبيقات هذا الجبر وفوائده في مجال الدوائر ما يلي:

تطبيقات الجبر البولياني في مجالات أخرى

تتعدد تطبيقات الجبر البولياني (Boolean Algebra) لتشمل مجالات متنوعة خارج نطاق الرياضيات النظرية، حيث يمتد أثره إلى مجالات متعددة من أبرزها:66الجبر البولياني - المعرفةmarefa.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد1818آلة حاسبة مجانية للجبر البوليانيmathos.aiاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد22Boolean algebra | Science | Research Starters | EBSCOhostebsco.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

  1. دراسة العلاقات بين المجموعات: يُستخدم الجبر البولياني للتعبير عن العلاقات بين مجموعات الأشياء أو المفاهيم بتمثيلها بالحروف، وتطبيق عمليات كالتقاطع والاتحاد التي تماثل قوانين الجبر العادي لتحديد العناصر المشتركة ضمن مجموعة شاملة.66الجبر البولياني - المعرفةmarefa.orgاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد
  2. علم الحاسوب (Computer Science): يُعتمد عليه في تصميم الخوارزميات وتطويرها، وبخاصة في محركات البحث عبر دمج الكلمات باستخدام المعاملات المنطقية، وكذلك في تصفية البيانات واسترجاعها ضمن قواعد البيانات (Databases) باستعمال لغة SQL بناءً على شروط محددة.1818آلة حاسبة مجانية للجبر البوليانيmathos.aiاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد
  3. القطاع المالي والاقتصاد: يُوظَّف في النمذجة الرياضية لحركات الأسواق، حيث تُستخدم الشجرة الثنائية (Binary Tree) ونموذج تسعير الخيارات ثنائي الحدين (Binomial Options Pricing Model) لتمثيل النتائج المحتملة لتغيرات أسعار الأوراق المالية.11شرح معنى " الجبر البولياني " ( Boolean Algebra ) | دليل مصطلحات هارفارد بزنس ريفيوhbrarabic.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد22Boolean algebra | Science | Research Starters | EBSCOhostebsco.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد وفي هذا السياق، يُعبر المتغير البولياني عن صعود السعر أو هبوطه عبر فترات زمنية منفصلة لتحديد التغير في سعر الأصل بين فترة وأخرى.11شرح معنى " الجبر البولياني " ( Boolean Algebra ) | دليل مصطلحات هارفارد بزنس ريفيوhbrarabic.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد22Boolean algebra | Science | Research Starters | EBSCOhostebsco.comاذهب إلى المرجع ↓يُفتح في تبويب جديد

أنظر أيضاً

المصادر

  1. شرح معنى " الجبر البولياني " ( Boolean Algebra ) | دليل مصطلحات هارفارد بزنس ريفيو. ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩

  2. Boolean algebra | Science | Research Starters | EBSCOhost. ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩

  3. boolean algebra and its applications. ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩

  4. ما هو الجبر البولياني وما علاقته بالحاسب؟. ↩

  5. Boolean Algebra Operations. ↩ ↩ ↩ ↩

  6. الجبر البولياني - المعرفة. ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩

  7. Boolean Algebra and Digital Logic. ↩ ↩ ↩

  8. أنواع المعطيات - موسوعة العلوم والتقانات. ↩ ↩

  9. الموسوعة العربية. ↩ ↩ ↩ ↩

  10. Boolean algebra. ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩

  11. جبر بول 1 | PDF. ↩ ↩ ↩ ↩

  12. أسس المنطق الرّقمي: الجبر البولياني Boolean Algebra – عالم الإلكترون. ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩ ↩

  13. طرائق حل المعادلات البوليانية. ↩

  14. De Morgan's Laws in Boolean Algebra | PDF | Boolean Algebra | Teaching Mathematics. ↩ ↩ ↩ ↩

  15. De Morgan's Laws - GeeksforGeeks. ↩ ↩

  16. السلسلة التطبيقية 3: الجبر البولياني – Machine Structure 1. ↩

  17. الجبر المنطقي في المنطق الرقمي |الابتكار العالمي. ↩ ↩

  18. آلة حاسبة مجانية للجبر البولياني. ↩ ↩ ↩ ↩ ↩

  19. قوانين الجبر البولي (BOOLEAN ALGEBRA):. ↩